Infotro/eln/signaux echantillonnage (#6)
* add IIR filters * fix signaux et echant. * typo * add filtres numériques
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7cb0973700
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+372
-9
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@@ -6,4 +6,5 @@
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- [AD/DA](/infotro/Eln/ADDA)
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- [Sigma / Delta](/infotro/Eln/Sigma-Delta)
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- [Transformée en Z](/infotro/Eln/Ztransform)
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- [Signaux et échantillonnage](/infotro/Eln/SignauxEtEchantillonnage)
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- [Signaux et échantillonnage](/infotro/Eln/SignauxEtEchantillonnage)
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- [Filtres numériques](/infotro/Eln/filtres_numeriques)
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@@ -16,18 +16,18 @@ Cette structure permet d'explorer le flux binaire et le filtre passe-bas avant d
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modulateur delta-sigma.
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## Le flux binaire
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Le flux binaire peut être interprété comme un signal digital ou analogique.
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Le flux binaire peut être interprété comme un signal numérique ou analogique.
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Il s'agit d'un signal séquentiel à un bit avec une fréquence d'horloge significativement plus élevée que le débit des
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données numériques de l'ADC ou du DAC. Sa caractéristique essentielle est que sa moyenne correspond à la moyenne du
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signal d'entrée. Un niveau logique "haut" représente la valeur maximale de sortie, tandis qu'un niveau logique "bas"
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représente la valeur minimale de sortie.
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- **Sortie analogique:** Le flux binaire est converti par un DA à un bit en un signal analogique.
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- **Sortie analogique :** Le flux binaire est converti par un DA à un bit en un signal analogique.
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Les valeurs d'entrée "bas" et "haut" se traduisent respectivement par deux tensions analogiques précises, par exemple,
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1V et +1V.
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- **Sortie digitale:** Dans le cas d'une sortie digitale, un niveau "haut" (ou "bas") dans le flux binaire représente
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la valeur maximale (ou minimale) de la plage de valeurs digitales. Par exemple, dans un système à 8 bits, un niveau
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- **Sortie numérique :** Dans le cas d'une sortie numérique, un niveau "haut" (ou "bas") dans le flux binaire représente
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la valeur maximale (ou minimale) de la plage de valeurs numériques. Par exemple, dans un système à 8 bits, un niveau
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"haut" pourrait correspondre à FF en hexadécimal, tandis qu'un niveau "bas" pourrait correspondre à 00 en hexadécimal.
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Un flux binaire similaire existe dans un signal modulé en largeur d‘impulsions (PWM), mais il présente quelques
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@@ -69,10 +69,9 @@ Le résultat final est un signal numérique représentant fidèlement le
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signal analogique d'origine, avec une faible distorsion et un faible
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bruit. La boucle de contre-réaction permet au convertisseur sigma-delta
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d'atteindre des performances supérieures à celles des autres types de
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convertisseurs analogique-numérique en termes de résolution et de
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convertisseurs analogiques-numérique en termes de résolution et de
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précision.
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cccccckrhltvbdnvjilbnrchidectlggreetcdrehlet
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@@ -67,11 +67,18 @@ Après l'impulsion, la réponse impulsionnelle $h$ est la réponse du système
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$$ h[k] = \mathcal{H} \{ δ[k] \} $$
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$\mathcal{H}$ : Heaviside <br>
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$\mathcal{H}$ : Heaviside (peut aussi se noter $\varepsilon$ pour un heaviside en discret) <br>
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$y[k]$ : réponse du système <br>
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$x[k]$ : signal d'entrée <br>
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$h[k]$ : réponse impulsionnelle <br>
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$$
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\forall x \in \mathbb{R}, \mathcal{H}(x)=\begin{cases}
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0 &\text{ si } x<0 \\
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1 &\text{ si } x \geq 0
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\end{cases}
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$$
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Pour un système causal
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$$\begin{align}
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@@ -192,6 +199,11 @@ $\ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right) \approx 2x$
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## Autres méthodes d'approximation d'un système continu LIT par un syst. discret
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On détermine la réponse impulsionnelle du système discret LIT à partir de celle du système continu en appliquant la relation :
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$$h[k] = T_{s}\cdot(kT_{s})$$
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$h(kT_s)$ : Réponse impulsionnelle en continu <br>
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On peut du coup approximer l'équation différentielle par une équation aux différences.
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Par exemple pour la dérivée première de $x(t)$, on a
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$$x'[k]= \frac{x[k]-x[k-1]}{T_{s}}$$
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@@ -0,0 +1,305 @@
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<header><h1>
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Filtres numériques
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</h1></header>
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# Filtres numériques récursifs (IIR)
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Les filtres numériques récursifs (IIR) sont des filtres numériques qui utilisent des rétroactions.
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Ils sont basés sur des équations aux différences.
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Les filtres récursifs sont utilisés pour des applications où la phase du filtre n'est pas critique.
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Ils sont utilisés dans les télécommunications et la régulation.
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Les intérêts des filtres récursifs :
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- Leur faible coût en calcul
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- Faible retard (télécommunication et la régulation)
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Les inconvénients des filtres récursifs :
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- Ils possèdent une phase non-linéaire
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- Ils peuvent avoir une instabilité numérique
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***Fonction de transfert en $z$ :***
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$$F(z) = \frac{Y(z)}{U(z)} = \frac{b_{0}+b_{1}z^{-1}+\dots+b_{n}z^{-1}}{1+a_{1}z^{-1}+\dots+a_{n}z^{-n}}$$
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Numérisation par conversion DA et AD d'un filtre analogique :
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$$F(z) = (1-z^{-1})Z \left\{ L^{-1}\left[ \frac{F(s)}{s} \right] \right\} $$
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La fonction de transfert en *z* permet ensuite de tirer l'équation aux différences qui servira à réaliser le filtre sous forme d'un algorithme récursif
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$$y[k]= b_{n}u[k-n]+ \dots + b_{1}u[k-1]+b_{0}u[k]-a_{n}y[k-n]-\dots-a_{1}y[k-1]$$
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Si on souhaite connaître la réponse fréquentielle d'un filtre, il suffit de remplacer l'opérateur *z* par sa transformée de Fourier :
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$$a\cdot z^{n}=a\cdot \exp(n\cdot s\cdot T_{s})=a\cdot \exp(n\cdot \mathbf{j}\omega T_{s})$$
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$T_{s}$ : La période d'échantillonnage
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Comme l’exponentielle imaginaire est périodique, la réponse fréquentielle d’un filtre numérique est également périodique
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de fréquence, et sa représentation se fait dans le domaine de fréquences allant de $0$ à $fs/2$. <br>
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Le gain statique d’un filtre peut être calculé selon :
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$$\text{Gain statique d'un filtre} = \lim_{ s \to 0 } F(s) = \lim_{ z \to 1 } F(z)$$
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> [!NOTE|label:Passage pôle et zéro s ↔ z]
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> $$\begin{align}
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z&=\exp(s\cdot T_{s}) \\
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s&=\frac{1}{T_{s}\ln(z)}
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\end{align}$$
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## Transformation analogique-numérique
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La transformation bilinéaire : transformation de Tustin ou approximation de Padé de premier ordre
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$$s = \frac{2}{T_{s}} \frac{z-1}{z+1} \qquad \qquad z = \frac{1+\frac{1}{2}sT_{s}}{1-\frac{1}{2}sT_{s}}$$
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***Pour un filtre analogique de premier ordre :***
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$$F(s)=\frac{d_{0}+d_{1}s}{c_{0}+c_{1}s} \to F(z) = \frac{b_{1}z^{-1}+b_{0}}{a_{1}z^{-1}+1} $$
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$$
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a_{1} = \frac{c_{0}-\frac{2c_{1}}{T_{s}}}{c_{0}+\frac{2c_{1}}{T_{s}}}
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\qquad \qquad
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||||
b_{0} = \frac{d_{0}+\frac{2d_{1}}{T_{s}}}{c_{0}+\frac{2c_{1}}{T_{s}}}
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||||
\qquad \qquad
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||||
b_{1} = \frac{d_{0}-\frac{2d_{1}}{T_{s}}}{c_{0}+\frac{2c_{1}}{T_{s}}}
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$$
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||||
***Pour un filtre analogique de second ordre :***
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$$F(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{d_{0}+d_{1}s+d_{2}s^{2}}{c_{0}+c_{1}s+c_{2}s^{2}}
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||||
\to F(z) = \frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{b_{2}z^{-2}+b_{1}z^{-1}+b_{0}}{a_{2}z^{-2+}a_{1}z^{-1}+1} $$
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$$\begin{gather}
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||||
C = c_{0}+\frac{2c_{1}}{T_{s}}+\frac{4c_{2}}{T_{s}^{2}} \\
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\\
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a_{1} = \frac{2\left( c_{0}-\frac{4c_{2}}{T_{s^{2}}} \right)}{C}
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||||
\qquad \qquad
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||||
a_{2} = \frac{ c_{0}-\frac{2c_{1}}{T_{s}}+\frac{4c_{2}}{T_{s^{2}}} }{C}
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||||
\qquad \qquad
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||||
b_{0} = \frac{d_{0}+\frac{2d_{1}}{T_{s}}+\frac{4d_{2}}{T_{s}^{2}}}{C} \\
|
||||
\\
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||||
b_{1} = \frac{2\left( d_{0}-\frac{4d_{2}}{T_{s^{2}}} \right)}{C}
|
||||
\qquad \qquad
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||||
b_{2} = \frac{d_{0}-\frac{2d_{1}}{T_{s}}+\frac{4d_{2}}{T_{s^{2}}}}{C}
|
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\end{gather}$$
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# Filtre numérique non-récursif (FIR)
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Les filtres numériques non-récursifs (FIR) sont des filtres numériques qui n'utilisent pas de rétroactions.
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Ils sont basés sur des équations aux différences.
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Les filtres non-récursifs sont utilisés pour des applications où la phase du filtre est critique.
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Ils sont utilisés dans le traitement du signal et la conception de filtres.
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Les intérêts des filtres non-récursifs :
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- Les fonctions de transfert ne possèdent que des coefficients $b_i$. ($\forall a_{i} = 0$)
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- Ils possèdent une phase linéaire exacte
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- Ils sont stables
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Les inconvénients des filtres non-récursifs :
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- Ils sont plus coûteux en calcul
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- Ils nécessitent plus de matériel
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Coefficients symétrique: pairs $b_{n-i} = b_{i}$, impairs $b_{n-i} = -b_{i}$, $b_{n/2}=0$ <br>
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**Symétrie paire:**
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$$H(\mathbf{j}\omega)
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= \sum^{n}_{i=o}b_{i}e^{-\frac{\mathbf{j}i\omega}{f_{s}}}
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= e^{\frac{-\mathbf{j}n\omega}{2f_{s}}} \sum^{n/2}_{i=0}b_{i}\cos\left[ \frac{\left( i-\frac{n}{2} \right)\omega}{f_{s}} \right]$$
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||||
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**Symétrie impaire:**
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$$H(\mathbf{j}\omega)=\mathbf{j}e^{\frac{-\mathbf{j}n\omega}{2f_{s}}}\sum^{n/2}_{i=0}b_{i}\sin\left( \frac{(i-\frac{n}{2})\omega}{f_{s}} \right)$$
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||||
Les filtres FIR à coefficients symétriques ont une phase linéaire.
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$$
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||||
\text{Symétrie paire : }\varphi(\omega)=-\frac{n\omega}{2f_{s}}
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\qquad \qquad
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||||
\text{Symétrie impaire : } \varphi(\omega)= -\frac{n\omega}{2f_{s}}+\frac{\pi}{2}
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$$
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$$\text{Temps de propagation : }t_{gr}=-\frac{d\varphi}{d\omega}=\frac{n}{2f_{s}}=\frac{n}{2}T_{s}$$
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Il y a donc 4 types de filtres FIR à phase linéaire : n resp. symétrie paire/impaire
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***Fonction de transfert en $z$ :***
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$$F(z) = \frac{Y(z)}{U(z)} = b_{0}+b_{1}z^{-1}+\dots+b_{n}z^{-1}$$
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||||
***Équation aux différences :***
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$$y[k]= b_{n}u[k-n]+ \dots + b_{1}u[k-1]+b_{0}u[k]$$
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||||
***Réponse en fréquence :***
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$$z=\exp(\mathbf{j}\omega\cdot T_{s})$$
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## Filtres FIR à symétrie paire :
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$$b_{n-k} = b_{k}$$
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Exemple : FIR à symétrie paire d'ordre 6
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$$\begin{align}
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||||
F(z) &= \frac{Y(z)}{U(z)} \\
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||||
&= 1+2z^{-1}+3z^{-2}+4z^{-3}+3z^{-4}+2z^{-5}+z^{-6} \\
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||||
&= \frac{z^{6}+2z^{5}+3z^{4}+4z^{3}+3z^{2}+2z^{1}+1}{z^{6}}
|
||||
\end{align}$$
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||||
Les filtres FIR à symétrie paire sont toujours de type passe-bas ou coupe-bande. <br>
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||||
Ils possèdent autant de pôles que l'order du filtre. Ces derniers sont à (0,0) sur le cercle unité. <br>
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||||
Ils possèdent autant de zéros que l'ordre du filtre. Ces derniers sont sur le cercle unité. <br>
|
||||
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||||
## Filtres FIR à symétrie impaire :
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$$b_{n-k} = -b_{k}$$
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||||
Exemple : FIR à symétrie impaire d'ordre 6
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$$\begin{align}
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||||
F(z) &= \frac{Y(z)}{U(z)} \\
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||||
&= -1-2z^{-1}-3z^{-2}+0z^{-3}+3z^{-4}+2z^{-5}+z^{-6} \\
|
||||
&= \frac{z^{6}+2z^{5}+3z^{4}+0z^{3}-3z^{2}-2z^{1}-1}{z^{8}}
|
||||
\end{align}$$
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||||
Les filtres FIR à symétrie paire sont toujours de type passe-haut ou passe-bande. <br>
|
||||
Ils possèdent autant de pôles que l'ordre du filtre. Ces derniers sont à (0,0) sur le cercle unité. <br>
|
||||
Ils possèdent autant de zéros que l'ordre du filtre. <br>
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# Filtres numériques FIR idéaux
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$$\omega_{c_{d}} = 2\pi \frac{f_{c_{a}}}{f_{s}}$$
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## Filtre passe-bas idéal
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||||
$$H(\mathbf{j}\omega)=\begin{cases}
|
||||
1 &\text{ si } |\omega| \leq \omega_{c} \\
|
||||
0 &\text{ si } |\omega| > \omega_{c}
|
||||
\end{cases} $$
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||||
La transformée de Fourier inverse donne la réponse impulsionnelle d’un filtre passe-bas idéal.
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||||
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||||
$$h[n] = \begin{cases}
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||||
\frac{\omega_{c}}{\pi} \frac{\sin((n-N_{s})\omega_{c})}{(n-N_{s})\omega_{c}} &\text{ si } 0\leq n \leq N \\
|
||||
\\
|
||||
\frac{\omega_{c}}{\pi} &\text{ si } n=N_{s} \\
|
||||
\\
|
||||
0 &\text{ sinon}
|
||||
\end{cases}$$
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||||
|
||||
On tronque à $N=ordre$ du filtre. $N_{s}=\frac{N}{2}$ <br>
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||||
Ces coefficients ne sont rien d’autre que les coefficients de la fonction de transfert en *z* du filtre passe-bas idéal.
|
||||
|
||||
## Filtre passe-haut idéal
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||||
$$H(\mathbf{j}\omega)=\begin{cases}
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||||
0 &\text{ si } |\omega| \leq \omega_{c} \\
|
||||
1 &\text{ si } |\omega| > \omega_{c}
|
||||
\end{cases}$$
|
||||
La transformée de Fourier inverse donne la réponse impulsionnelle d’un filtre passe-bas idéal.
|
||||
|
||||
$$h[n] = \begin{cases}
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||||
-\frac{\omega_{c}}{\pi} \frac{\sin((n-N_{s})\omega_{c})}{(n-N_{s})\omega_{c}} &\text{ si } 0\leq n \leq N \\
|
||||
\\
|
||||
1-\frac{\omega_{c}}{\pi} &\text{ si } n=N_{s} \\
|
||||
\\
|
||||
0 &\text{ sinon}
|
||||
\end{cases}$$
|
||||
|
||||
On tronque à $N=ordre$ du filtre. $N_{s}=\frac{N}{2}$ <br>
|
||||
Ces coefficients ne sont rien d’autre que les coefficients de la fonction de transfert en *z* du filtre passe-haut idéal.
|
||||
|
||||
## Filtre passe-bande idéal
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||||
$$H(\mathbf{j}\omega)=\begin{cases}
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||||
1 &\text{ si } \omega_{c_{1}} \leq \omega \leq \omega_{c_{2}} \\
|
||||
0 &\text{ si } \omega \leq \omega_{c_{1}} \quad et \quad \omega\geq \omega_{c_{2}}
|
||||
\end{cases}$$
|
||||
La transformée de Fourrier inverse donne la réponse impulsionnelle d’un filtre passe-bande idéal.
|
||||
|
||||
$$h[n] = \begin{cases}
|
||||
\frac{\omega_{c_{2}}}{\pi} \frac{\sin((n-N_{s})\omega_{c_{2}})}{(n-N_{s})\omega_{c_{2}}}-\frac{\omega_{c_{1}}}{\pi} \frac{\sin((n-N_{s})\omega_{c_{1}})}{(n-N_{s})\omega_{c_{1}}} &\text{ si } 0\leq n \leq N \\
|
||||
\\
|
||||
\frac{\omega_{c_{2}}-\omega_{c_{1}}}{\pi} &\text{ si } n=N_{s}\\
|
||||
\\
|
||||
0 &\text{ sinon}
|
||||
\end{cases}$$
|
||||
|
||||
On tronque à $N=ordre$ du filtre. $N_{s}=\frac{N}{2}$ <br>
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||||
Ces coefficients ne sont rien d’autre que les coefficients de la fonction de transfert en *z* du filtre passe-bande idéal.
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||||
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||||
## Filtre coupe-bande idéal
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||||
$$H(\mathbf{j}\omega)=\begin{cases}
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||||
0 &\text{ si } \omega_{c_{1}} \leq \omega \leq \omega_{c_{2}} \\
|
||||
1 &\text{ si } \omega \leq \omega_{c_{1}} \quad et \quad \omega\geq \omega_{c_{2}}
|
||||
\end{cases}$$
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||||
La transformée de Fourrier inverse donne la réponse impulsionnelle d’un filtre coupe-bande idéal.
|
||||
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||||
$$h[n] = \begin{cases}
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||||
\frac{\omega_{c_{1}}}{\pi} \frac{\sin((n-N_{s})\omega_{c_{1}})}{(n-N_{s})\omega_{c_{1}}}
|
||||
-\frac{\omega_{c_{2}}}{\pi} \frac{\sin((n-N_{s})\omega_{c_{2}})}{(n-N_{s})\omega_{c_{2}}}
|
||||
&\text{ si } 0\leq n \leq N \\
|
||||
\\
|
||||
1-\frac{\omega_{c_{2}}-\omega_{c_{1}}}{\pi} &\text{ si } n=N_{s}\\
|
||||
\\
|
||||
0 &\text{ sinon}
|
||||
\end{cases}$$
|
||||
|
||||
On tronque à $N=ordre$ du filtre. $N_{s}=\frac{N}{2}$ <br>
|
||||
Ces coefficients ne sont rien d’autre que les coefficients de la fonction de transfert en *z* du filtre coupe-bande idéal.
|
||||
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||||
# Synthèse par fenêtrage
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||||
Le point de départ de la synthèse des filtres FIR est donné par la considération des réponses impulsionnelles des filtres idéaux.
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||||
Comme celles-ci sont infiniment longues et donc non réalisables, on va se contenter d’une approximation de leurs réponses.
|
||||
|
||||
## Méthode de fenêtrage
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||||
- **Fenêtre rectangulaire :** $$W[n] = \begin{cases}
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||||
1 &\text{ si } 0\leq n \leq N \\
|
||||
0 &\text{ sinon}
|
||||
\end{cases}$$
|
||||
- **Fenêtre triangulaire (Bartlett) :** $$W[n] = \begin{cases}
|
||||
2 \frac{n}{N} &\text{ si } 0\leq n \leq \frac{N}{2} \\
|
||||
2-2 \frac{n}{N} &\text{ si } \frac{N}{2}\leq n \leq N \\
|
||||
0 &\text{ sinon}
|
||||
\end{cases}$$
|
||||
- **Fenêtre sinusoïdale (Hann) :** $$W[n] = \begin{cases}
|
||||
0,5\left( 1-\cos\left( \frac{2\pi n}{N} \right) \right) &\text{ si } 0\leq n\leq N \\
|
||||
0 &\text{ sinon}
|
||||
\end{cases}$$
|
||||
- **Fenêtre de Hamming :** $$W[n] = \begin{cases}
|
||||
0,54-0,46\cos\left( \frac{2\pi n}{N} \right) &\text{ si } 0\leq n\leq N \\
|
||||
0 &\text{ sinon}
|
||||
\end{cases}$$
|
||||
- **Fenêtre de Blackman :** $$W[n] = \begin{cases}
|
||||
0,42-0,5\cos\left( \frac{2\pi n}{N} \right)+0,08\cos\left( \frac{4\pi n}{N} \right) &\text{ si } 0\leq n\leq N \\
|
||||
0 &\text{ sinon}
|
||||
\end{cases}$$
|
||||
- **Fenêtre de Kaiser-Bessel :** $$W[n] = \begin{cases}
|
||||
\frac{I_{0}\left( \beta\sqrt{1-\left( \frac{1-n}{N_{s}} \right)^{2}} \right)}{I_{0}(\beta)} &\text{ si } 0\leq n\leq N \\
|
||||
0 &\text{ sinon}
|
||||
\end{cases}$$
|
||||
$I_{0}$ : Fonction de Bessel modifiée d’ordre 0 <br>
|
||||
$\beta$ : Paramètre de forme
|
||||
|
||||
***Caractéristiques spectrales de quelques fenêtres***
|
||||
|
||||
| Fenêtres | Largeur du 1er lobe | Atténuation du 1er lobe [dB] | Décroissance des lobes suivants | Ondulation Rp [dB] | Atténuation max [dB] | Bande de transition<br>[rad/sec]<br>$\Delta\omega$ |
|
||||
|---------------------|---------------------|------------------------------|---------------------------------|--------------------|----------------------|----------------------------------------------------|
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||||
| Rectangulaire | $4\pi/N$ | $-13$ | $20 dB/dec$ | $0,74$ | $21$ | $1,8\pi/N$ |
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| Triangulaire | $8\pi/N$ | $-27$ | $40 dB/dec$ | $0$ | $25$ | $6,1\pi/N$ |
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| Cosinus | $8\pi/N$ | $-32$ | $60 dB/dec$ | $0,055$ | $44$ | $6,2\pi/N$ |
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||||
| Hamming | $8\pi/N$ | $-43$ | $20 dB/dec$ | $0,014$ | $53$ | $6,6\pi/N$ |
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||||
| Blackman | $12\pi/N$ | $-58$ | $60 dB/dec$ | $0,0017$ | $74$ | $11\pi/N$ |
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||||
| Kaiser $\beta=4,54$ | $7,2\pi/N$ | $-30$ | $20 dB/dec$ | $0,025$ | $50$ | $5,8\pi/N$ |
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||||
| Kaiser $\beta=5,66$ | $8,4\pi/N$ | $-42$ | $20 dB/dec$ | $0,009$ | $60$ | $7,2\pi/N$ |
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## Comment calculer son filtre
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$H(\mathbf{j}\omega)$ : Gain <br>
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$\delta_{1}$ : L'erreur de gain tolérable <br>
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$\delta_{2}$ : L'erreur d'atténuation tolérable <br>
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$\omega_{p}$ : Fréquence de pulsation de passage <br>
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||||
$\omega_{a}$ : Fréquence de pulsation d'arrêt <br>
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1. En fonction du gabarit, déterminer le type de filtre désiré (`passe-bas`, `passe-haut`, `passe-bande`, `coupe-bande`)
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2. Calculer $f_{c} \to \omega_{c}$ et $\Delta f \to \Delta\omega$
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$$\begin{gather}
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f_{c} = \frac{f_{a}+f_{p}}{2} \qquad & \qquad \Delta f = f_{a}-f_{p} \\
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||||
\omega_{c} = 2\pi \frac{f_{c}}{f_{s}} \quad & \quad \Delta\omega = \frac{2\pi\Delta f}{f_{s}}
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||||
\end{gather}$$
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3. Choisir une fenêtre $W[n]$ satisfaisante du point de vue de l’atténuation et du reste du cahier des charges.(voir tableau ci-dessus)
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4. Calculer l'ordre du filtre à l'aide de la bande de transition du filtre choisit. Arrondir au nombre pair supérieur.
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5. Calculer la réponse impulsionnelle $h_{f}[n]$ du filtre avec $h[n]*W[n]$
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6. Calculer les coefficients $b_{n}$ du filtre avec $h_{f}[n]$
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<details>
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<summary>Démarche selon les slides</summary>
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1. Connaissant le gabarit du filtre désiré, choisir le filtre idéal correspondant
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2. Calculer les pulsations caractéristiques se situant au centre des bandes de transitions
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3. Rechercher la réponse impulsionnelle $h[n]$ du filtre idéal, si celle-ci n’est pas connue, on peut la calculer par transformation de Fourier inverse
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4. Choisir une fenêtre $W[n]$ satisfaisante du point de vue de l’atténuation
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5. Connaissant la largeur de la bande de transition , calculer l’ordre du filtre $N$
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6. Calculer les coefficients du filtre en multipliant la réponse impulsionnelle par la fenêtre choisie
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</details>
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-0.37322,1.02256 -1.0994,0.90245 -5.83161,3.16392 -6.43871,3.077 -0.86373,-0.12368 -0.82489,-0.85236 0.10166,-1.90765 l 0.83562,-0.95172 h -62.2045 -62.204492 v 8.01688 c 0,8.59642 -0.05419,8.9619 -1.256771,8.47664 z m 49.146356,-22.71496 v -4.36936 l -17.462539,0.0699 c -9.604396,0.0384 -17.462521,-0.0194 -17.4625,-0.12856 2.1e-5,-0.10914 7.858163,-0.19843 17.462538,-0.19843 H 92.696875 V 109.08662 72.17725 H 68.752082 44.80729 v 37.05526 37.05526 l 3.83687,-0.0797 c 2.110279,-0.0439 3.836685,0.01 3.836459,0.1187 -2.27e-4,0.10914 -1.726818,0.19843 -3.83687,0.19843 H 44.80729 v 4.23334 4.23333 H 68.752082 92.696875 Z M 52.74479,146.26058 c 0,-0.14552 0.119063,-0.26458 0.264584,-0.26458 0.145521,0 0.264583,0.11906 0.264583,0.26458 0,0.14552 -0.119062,0.26458 -0.264583,0.26458 -0.145521,0 -0.264584,-0.11906 -0.264584,-0.26458 z m 2.116667,0 c 0,-0.14552 0.119063,-0.26458 0.264584,-0.26458 0.14552,0 0.264583,0.11906 0.264583,0.26458 0,0.14552 -0.119063,0.26458 -0.264583,0.26458 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0,-0.36153 1.130335,-0.0329 1.76517,0.51311 1.404889,1.20843 0.745415,3.86454 -0.959511,3.86454 -0.384904,0 -0.829263,-0.12944 -0.987463,-0.28764 -0.207127,-0.20712 -0.337395,-0.20712 -0.465407,0 -0.262976,0.42551 -1.370378,0.34892 -1.847035,-0.12774 z m 13.969861,-0.52505 c -0.86767,-1.32423 -0.25657,-3.37493 1.10776,-3.71735 0.95943,-0.2408 1.04239,0.004 0.26495,0.78123 -0.71748,0.71748 -0.86779,1.70368 -0.39446,2.58811 0.22279,0.41628 0.36178,0.46351 0.65293,0.22187 0.26169,-0.21718 0.32457,-0.63765 0.21495,-1.4374 -0.1058,-0.77188 -0.0484,-1.19627 0.18096,-1.33802 0.55599,-0.34362 1.0106,0.58073 0.85524,1.73896 -0.12522,0.93364 -0.0802,1.0447 0.42388,1.0447 0.49072,0 0.56401,-0.15227 0.56401,-1.17173 0,-1.1107 -0.47997,-2.00327 -1.07723,-2.00327 -0.13513,0 -0.24569,-0.11907 -0.24569,-0.26459 0,-0.29619 0.78976,-0.35104 1.44336,-0.10023 1.1331,0.43482 1.57065,2.90706 0.67331,3.8044 -0.55867,0.55866 -1.70818,0.71148 -1.98482,0.26387 -0.1096,-0.17735 -0.32831,-0.17735 -0.65968,0 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* [PLA - Programmation en langage assembleur](/infotro/SEm/PLA.md)
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