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@@ -15,7 +15,19 @@ Elle permet d'exprimer un signal dans le temps en domaine fréquentiel.
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La transformée de Fourier est définie par la formule suivante :
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Soit $f(x)$ une fonction non périodique définie sur $\mathbb{R}$.
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$$\begin{align}
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\text{Transformée de Fourier de }f(x) &: \qquad \widehat{f}(\omega) = \int^{\infty}_{-\infty}f(x)e^{-\mathbf{i}\omega x}dx \qquad (\omega\in \mathbb{R})\\
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\text{Intégrale de Fourier de } f(x) &: \qquad \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \widehat{f}(\omega) e^{\mathbf{i}x\omega}\, d\omega \qquad(x \in\mathbb{R}).
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\end{align}$$
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**Théorème** : Si $\int_{-\infty}^{\infty} |f(x) \, dx < \infty$ et si $f$ est une fonction de variation bornée sur tout $\mathbb{R}$, alors
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$$
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\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \widehat{f}(\omega)e^{\mathbf{i}x\omega} \, d\omega = \begin{cases}
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f(x) &\text{si }f \text{ est continue au point }x \\
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\text{milieu du saut de } f(x) &\text{si }f \text{ a un saut en }x
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\end{cases}
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$$
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## Transformée de Fourier discrète
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@@ -23,10 +35,13 @@ La transformée de Fourier discrète (DFT - Discret Fourier Transform) est une t
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d'un signal discret.
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Elle est l'équivalent discret de la transformée de Fourier, qui est utilisée pour analyser les signaux continus.
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On pose: $\Omega := \omega \cdot T_{s}$
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La transformation de Fourier de $x[k]$ est donnée par la formule suivante :
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$$\mathcal{F}\{x[k]\} = X(\Omega) \quad := \quad\sum^{+\infty}_{k=-\infty}x[k]\cdot e^{-jk\Omega}= \mathcal{F}\{x_{s}(t)\}$$
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$$\mathcal{F\{x[k]\} = \mathcal{Z}\{x[k]\}}|_{z=e^{j\Omega}}$$
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$$x[k]=\frac{1}{2\pi} \int^{+\pi}_{-\pi}X(\Omega)e^{jk\Omega} d\Omega$$
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@@ -86,7 +101,7 @@ y[k] &= \sum^{N}_{n=0}x[k-n]\cdot h[n] \\
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\end{align}$$
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$N$ : Limite de notre réponse impulsionnelle.
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En faisant la somme, la réponse impulsionnelle se transforme en facteurs $(b_0, b_1, b_2, ..., b_n)$.
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On peut retrouver la réponse impulsionnelle à partir de ces facteurs.
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