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<header><h1>
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Radio Fréquence
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</h1></header>
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# Skin effect
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Le courant électrique circule principalement à la surface des conducteurs.
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Pour un fil de cuivre rond, la résistance en continue est donnée par la formule suivante:
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$$R_{DC} = \rho\frac{l}{\pi r²}$$
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avec:
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- $R_{DC}$: résistance en continue
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- $\rho$: résistivité du cuivre
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- $l$: longueur du fil
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- $r$: rayon du fil
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La résistance en courant alternatif est donnée par la formule suivante:
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$$R_{AC} = R_{DC} \frac{r}{2\delta}$$
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avec:
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- $R_{AC}$: résistance en courant alternatif
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- $R_{DC}$: résistance en continue
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- $r$: rayon du fil
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- $\delta$: profondeur de pénétration du courant
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La profondeur de pénétration du courant est donnée par la formule suivante:
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$$\delta = \sqrt{\frac{\rho}{\pi f \mu_0}}$$
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avec:
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- $\delta$: profondeur de pénétration du courant
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- $\rho$: résistivité du cuivre
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- $f$: fréquence
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- $\mu_0$: perméabilité magnétique du vide $= 4\pi 10^{-7} H/m$
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On peut en déduire la résistance en courant alternatif:
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$$R_{AC} = \frac{l\sqrt{\rho\pi\mu_0}}{2\pi r} \sqrt{f} \qquad \qquad R_{AC(f_{2})} = R_{AC(f_{1})} \cdot \sqrt{ \frac{f_{2}}{f_{1}} }$$
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Pour calculer l'inductance et la capacité d'un fil, on peut utiliser les formules suivantes :
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$$\begin{align}
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L&=\frac{\mu_{0}l}{\pi}acosh\left( \frac{d}{2r} \right) \\
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C&=\frac{\pi\epsilon_{0}l}{acosh\left( \frac{d}{2r} \right)}
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\end{align}$$
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avec :
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- $\mu_{0}$: perméabilité magnétique du vide $=4\pi\cdot 10^{-7}\left[ \frac{H}{m} \right]$
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- $\epsilon_{0}$: permittivité du vide $=8.854\cdot 10^{-12}\left[ \frac{F}{m} \right]$
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# Model à haute fréquence
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## Inductance
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<u>Facteur de qualité :</u>
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$$Q(f) = \frac{X_{L}(f)}{R(f)} \qquad \qquad R_{AC}(f)= \frac{l\sqrt{ \rho \pi \mu_{0} }}{2\pi r}\sqrt{ f}$$
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<u>Réactance & Impédance:</u>
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$$X_{L}=\omega L=2\pi fL \qquad \qquad Z_{L}=jX_{L}=j\omega L$$
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<u>Résonance :</u> $\omega_{r} ≃\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{ LC }}$ <br>
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SRF: Self Resonant Frequency = $\frac{\omega_{r}}{2\pi}$
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$$Z_{L,tot} = (j\omega L+R) \mid \mid \frac{1}{j\omega C} =\frac{sL+R}{1+sRC+s^{2}LC}$$
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# Capacité
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<u>Facteur de qualité :</u>
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$$Q(f) = \frac{X_{C}(f)}{R} \qquad \qquad \omega_{r} ≃\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{ LC }}$$
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<u>Réactance & Impédance:</u>
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$$X_{C}=\frac{1}{\omega C} \qquad \qquad Z_{C}=\frac{1}{j\omega C}$$
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# Résistance
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# Transmission line
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$$ k = \frac{2\pi}{\lambda} \qquad \qquad \lambda = \frac{c_{mat}}{f} $$
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$\Gamma$ (Gamma) : coefficient de réflexion
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# Smith Chart
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## Ajouter une ligne de réflexion
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1. Placer $Z1$
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1. Normaliser ($\hat{Z_{1}}=\frac{Z_{1}}{Z_{0}}$)
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2. Placer le point au croisement de l'axe réel et imaginaire (Impédance = bleu)
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2. Chercher $\Gamma$ (indice de reflexion)
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1. Tracer l'angle ("Angle of reflexion coefficient in degrees")
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2. Tracer le module (cercle au compas + rapport sur les échelles du bas)
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3. Ajouter la ligne selon le sens
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- $\circlearrowright$ : toward generator
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- $\circlearrowleft$ : toward load
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4. Lire les nouvelles valeures
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1. Tracer le nouvel angle $\to \angle(\Gamma_{2})$
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2. Tracer et lire $\hat{Z_{2}}$ puis $Z_{2}$
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# Impedance Matching
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$Z_{LD} \to Z_S^*$, sans résistance
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- Capacité + inductance
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- ligne de transmission + capacité / inductance + ligne de transmission
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- ligne de transmission + stub + ligne de transmission
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-
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## Stub
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Pour trouver la longueur du stub :
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1. Pour un short stub, placer une inductance parallèle et pour un open stub un condensateur parallèle
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2. Trouver la valeur normalisée de cette admittance.
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3. Pour un short stub, placer le delta dans les négatifs (parti du dessus) et pour un open stub dans les positifs (partie du dessous).
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4. Regarder la longueur d'onde. Partir du côté open circuit pour un open stub et du côté short circuit pour un short stub.
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# Filtres
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Filter components <br>
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 <br>
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Normalized value for Butterworth order 1 to 10 <br>
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Normalized value for Chebyshev 0.5dB Ripple <br>
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Normalized value for Chebyshev 3dB Ripple <br>
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## Filtres passe-bas en microstrip
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$l$ : longueur physique en mm <br>
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$\theta$ : longueur électrique / degré <br>
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$$ l_l = g_k * \frac{\lambda_{gl} * Z_0}{2\pi *Z_{0l}} $$
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$$ l_c = g_k * \frac{\lambda_{gc} * Z_{0c}}{2\pi *Z_0} $$
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$$ \theta_l = g_k * \frac{360 * Z_0}{2\pi *Z_{0l}} $$
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$$ \theta_c = g_k * \frac{360* Z_{0c}}{2\pi *Z_0} $$
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