Yggdrasil/legacy_docs/infotro/Eln/RF.md

Radio Fréquence

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Skin effect

Le courant électrique circule principalement à la surface des conducteurs.

Pour un fil de cuivre rond, la résistance en continue est donnée par la formule suivante:

R_{DC} = \rho\frac{l}{\pi r²}

avec:

• R_{DC}: résistance en continue
• \rho: résistivité du cuivre
• l: longueur du fil
• r: rayon du fil

La résistance en courant alternatif est donnée par la formule suivante:

R_{AC} = R_{DC} \frac{r}{2\delta}

avec:

• R_{AC}: résistance en courant alternatif
• R_{DC}: résistance en continue
• r: rayon du fil
• \delta: profondeur de pénétration du courant

La profondeur de pénétration du courant est donnée par la formule suivante:

\delta = \sqrt{\frac{\rho}{\pi f \mu_0}}

avec:

• \delta: profondeur de pénétration du courant
• \rho: résistivité du cuivre
• f: fréquence
• \mu_0: perméabilité magnétique du vide = 4\pi 10^{-7} H/m

On peut en déduire la résistance en courant alternatif:

R_{AC} = \frac{l\sqrt{\rho\pi\mu_0}}{2\pi r} \sqrt{f} \qquad \qquad R_{AC(f_{2})} = R_{AC(f_{1})} \cdot \sqrt{ \frac{f_{2}}{f_{1}} }

Pour calculer l'inductance et la capacité d'un fil, on peut utiliser les formules suivantes : $$\begin{align} L&=\frac{\mu_{0}l}{\pi}acosh\left( \frac{d}{2r} \right) \ C&=\frac{\pi\epsilon_{0}l}{acosh\left( \frac{d}{2r} \right)} \end{align}$$ avec :

• \mu_{0}: perméabilité magnétique du vide =4\pi\cdot 10^{-7}\left[ \frac{H}{m} \right]
• \epsilon_{0}: permittivité du vide =8.854\cdot 10^{-12}\left[ \frac{F}{m} \right]

Model à haute fréquence

Inductance

Facteur de qualité :

Q(f) = \frac{X_{L}(f)}{R(f)} \qquad \qquad R_{AC}(f)= \frac{l\sqrt{ \rho \pi \mu_{0} }}{2\pi r}\sqrt{ f}

Réactance & Impédance:

X_{L}=\omega L=2\pi fL \qquad \qquad Z_{L}=jX_{L}=j\omega L

Résonance : \omega_{r} ≃\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{ LC }}
SRF: Self Resonant Frequency = \frac{\omega_{r}}{2\pi}

Z_{L,tot} = (j\omega L+R) \mid \mid \frac{1}{j\omega C} =\frac{sL+R}{1+sRC+s^{2}LC}

Capacité

Facteur de qualité :

Q(f) = \frac{X_{C}(f)}{R} \qquad \qquad \omega_{r} ≃\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{ LC }}

Réactance & Impédance:

X_{C}=\frac{1}{\omega C} \qquad \qquad Z_{C}=\frac{1}{j\omega C}

Résistance

Transmission line

k = \frac{2\pi}{\lambda} \qquad \qquad \lambda = \frac{c_{mat}}{f}

\Gamma (Gamma) : coefficient de réflexion

Smith Chart

Ajouter une ligne de réflexion

1. Placer Z1
   1. Normaliser (\hat{Z_{1}}=\frac{Z_{1}}{Z_{0}})
   2. Placer le point au croisement de l'axe réel et imaginaire (Impédance = bleu)
2. Chercher \Gamma (indice de reflexion)
   1. Tracer l'angle ("Angle of reflexion coefficient in degrees")
   2. Tracer le module (cercle au compas + rapport sur les échelles du bas)
3. Ajouter la ligne selon le sens
   • \circlearrowright : toward generator
   • \circlearrowleft : toward load
4. Lire les nouvelles valeures
   1. Tracer le nouvel angle \to \angle(\Gamma_{2})
   2. Tracer et lire \hat{Z_{2}} puis Z_{2}

Impedance Matching

Z_{LD} \to Z_S^*, sans résistance

• Capacité + inductance
• ligne de transmission + capacité / inductance + ligne de transmission
• ligne de transmission + stub + ligne de transmission

Stub

Pour trouver la longueur du stub :

1. Pour un short stub, placer une inductance parallèle et pour un open stub un condensateur parallèle
2. Trouver la valeur normalisée de cette admittance.
3. Pour un short stub, placer le delta dans les négatifs (parti du dessus) et pour un open stub dans les positifs (partie du dessous).
4. Regarder la longueur d'onde. Partir du côté open circuit pour un open stub et du côté short circuit pour un short stub.

Filtres

Filter components

Normalized value for Butterworth order 1 to 10

Normalized value for Chebyshev 0.5dB Ripple

Normalized value for Chebyshev 3dB Ripple

Filtres passe-bas en microstrip

l : longueur physique en mm
\theta : longueur électrique / degré

l_l = g_k * \frac{\lambda_{gl} * Z_0}{2\pi *Z_{0l}} l_c = g_k * \frac{\lambda_{gc} * Z_{0c}}{2\pi *Z_0} \theta_l = g_k * \frac{360 * Z_0}{2\pi *Z_{0l}} \theta_c = g_k * \frac{360* Z_{0c}}{2\pi *Z_0}