refactor and add some miss equations

infotro/Eln/ADDA.md

@@ -1,8 +1,7 @@
-<header>
-  <h1>AD/DA</h1>
-</header>
+<header><h1>
+AD/DA
+</h1></header>
 
-# AD
 Il existe 4 méthodes principales pour une conversion Analogique vers Digital:
 - Parallèle
 - Par pesée
@@ -15,13 +14,29 @@ Il existe 4 méthodes principales pour une conversion Analogique vers Digital:
 | **Pesée**               | Taille du circuit ~$n$ |                             |
 | **Par comptage**        | 1 seul switch          | Nécessite d'aller très vite |
 
+$$SNR [dB]=6,02\cdot n+1,78$$
+$n$ : nombre de bits du convertisseur
+
+$$OSR = \frac{f_{s}}{2f_{0}}$$
+$OSR$ : OverSampling Ratio <br>
+$f_{s}$ : Sampling Frequency <br>
+$f_{0}$ : Entry Fréquency <br>
+
+$$n=\frac{SNR}{20\log_{10}(2\cdot OSR)}$$
+$n$ : Ordre du filtre <br>
+$SNR$ : Signal sur bruit <br>
+$OSR$ : Oversampling ratio <br>
 
 
-## Parallèle
+
+
+# AD - Parallèle
 
 ![AD Parallèle](medias/parallele.png ':size=200')
 
-## Par comptage
+----------
+
+# AD - Par comptage
 Un seul switch mais avec une fréquence de commutation très rapide  
 $$
 V_{a} = \frac{t_{on}}{T}\cdot V_{ref}
@@ -29,7 +44,9 @@ $$
 ![AD par comptage](medias/comptage.png ':size=300')
 ![Graph AD par comptage](medias/comptage-graph.png ':size=200')
 
-## Par pesée
+----------
+
+# AD - Par pesée
 Un switch par bit.
 
 ![AD par pesée](medias/pesee.png ':size=300')
@@ -47,8 +64,9 @@ Pour un $V_{red} = 1[V]$ on a:
 | 1  | 1  | 0  | 0,750 |  
 | 1  | 1  | 1  | 0,875 |  
 
-# DA
-## Échantillonneur avec maintien
+----------
+
+# DA - Échantillonneur avec maintien
 
 
 # Caractéristique de convertisseurs
@@ -59,3 +77,82 @@ $$
 nBits = Ceiling\left[log_2\cdot \frac{plage}{pas}\right]
 $$
 
+----------
+
+# Sigma / Delta
+
+[sigma-delta.drawio](medias/sigma-delta.drawio ':include :type=code')
+
+
+## Principe
+Un convertisseur analogique-numérique (AD) ou numérique-analogique (DA) delta-sigma se compose toujours d'un modulateur
+delta-sigma produisant un "flux binaire" ou "signal binaire séquentiel" et d'un filtre passe-bas.
+
+Le modulateur peut être mis en œuvre comme un circuit numérique pour un signal numérique ou comme un circuit analogique
+pour un signal analogique. De même, le filtre passe-bas peut être analogique pour générer un signal de sortie
+analogique ou numérique, réalisé soit par un circuit numérique soit par un algorithme dans un processeur de signal.
+Cette structure permet d'explorer le flux binaire et le filtre passe-bas avant d'approfondir l'étude du
+modulateur delta-sigma.
+
+### Le flux binaire
+Le flux binaire peut être interprété comme un signal numérique ou analogique.
+Il s'agit d'un signal séquentiel à un bit avec une fréquence d'horloge significativement plus élevée que le débit des
+données numériques de l'ADC ou du DAC. Sa caractéristique essentielle est que sa moyenne correspond à la moyenne du
+signal d'entrée. Un niveau logique "haut" représente la valeur maximale de sortie, tandis qu'un niveau logique "bas"
+représente la valeur minimale de sortie.
+
+- **Sortie analogique :** Le flux binaire est converti par un DA à un bit en un signal analogique.
+  Les valeurs d'entrée "bas" et "haut" se traduisent respectivement par deux tensions analogiques précises, par exemple,
+  1V et +1V.
+
+- **Sortie numérique :** Dans le cas d'une sortie numérique, un niveau "haut" (ou "bas") dans le flux binaire représente
+  la valeur maximale (ou minimale) de la plage de valeurs numériques. Par exemple, dans un système à 8 bits, un niveau
+  "haut" pourrait correspondre à FF en hexadécimal, tandis qu'un niveau "bas" pourrait correspondre à 00 en hexadécimal.
+
+Un flux binaire similaire existe dans un signal modulé en largeur d‘impulsions (PWM), mais il présente quelques
+désavantages par rapport au flux binaire d'un convertisseur delta-sigma, également appelé signal modulé en rapport
+d’impulsions (PPM). La transmission en série d'une valeur numérique, telle que la sortie en série d'un ADC conventionnel
+par pesée, est quant à elle appelée modulation par codage d'impulsions (PCM).
+
+----------
+
+# 
+
+Un convertisseur sigma-delta est un type de convertisseur
+analogique-numérique (CAN) qui utilise une boucle de contre-réaction pour
+échantillonner et quantifier un signal analogique en un signal numérique.
+Le principe de fonctionnement d'un convertisseur sigma-delta peut être
+expliqué en plusieurs étapes :
+
+1. Échantillonnage : Tout d'abord, le signal analogique est échantillonné
+   à une fréquence d'échantillonnage beaucoup plus élevée que la bande
+   passante du signal. Cette haute fréquence d'échantillonnage permet de
+   réduire considérablement les effets des distorsions et du bruit dans le
+   domaine fréquentiel.
+2. Quantification : Le signal échantillonné est ensuite quantifié en un
+   signal numérique à l'aide d'un comparateur qui compare le signal avec une
+   référence de tension fixe. La sortie du comparateur est une suite de bits
+   représentant la valeur du signal analogique à chaque instant.
+3. Contre-réaction : Le signal quantifié est ensuite utilisé pour régler
+   un oscillateur numérique qui produit un signal d'erreur. Ce signal
+   d'erreur est ajouté au signal d'entrée dans la boucle de contre-réaction,
+   ce qui permet de compenser les erreurs de quantification et de réduire le
+   bruit dans le signal quantifié.
+4. Suréchantillonnage : Le signal numérique produit par le convertisseur
+   sigma-delta est suréchantillonné à une fréquence beaucoup plus élevée que
+   la fréquence d'échantillonnage initiale, ce qui permet de réduire encore
+   davantage les effets du bruit dans le signal.
+5. Décimation : Enfin, le signal suréchantillonné est décimé à la
+   fréquence d'échantillonnage désirée en utilisant un filtre passe-bas
+   numérique qui élimine les composantes de hautes fréquences indésirables.
+
+Le résultat final est un signal numérique représentant fidèlement le
+signal analogique d'origine, avec une faible distorsion et un faible
+bruit. La boucle de contre-réaction permet au convertisseur sigma-delta
+d'atteindre des performances supérieures à celles des autres types de
+convertisseurs analogiques-numérique en termes de résolution et de
+précision.
+
+![img.png](medias/snr_by_osr.png)
+
+----------

infotro/Eln/README.md

@@ -4,7 +4,6 @@
 
 # Convertisseurs
 - [AD/DA](/infotro/Eln/ADDA)
-- [Sigma / Delta](/infotro/Eln/Sigma-Delta)
 - [Transformée en Z](/infotro/Eln/Ztransform)
 - [Signaux et échantillonnage](/infotro/Eln/SignauxEtEchantillonnage)
-- [Filtres numériques](/infotro/Eln/filtres_numeriques)
+- [Filtres](/infotro/Eln/Filtres)

infotro/Eln/Sigma-Delta.md

@@ -1,77 +0,0 @@
-<header>
-  <h1>Sigma / Delta</h1>
-</header>
-
-[sigma-delta.drawio](medias/sigma-delta.drawio ':include :type=code')
-
-
-# Principe
-Un convertisseur analogique-numérique (AD) ou numérique-analogique (DA) delta-sigma se compose toujours d'un modulateur
-delta-sigma produisant un "flux binaire" ou "signal binaire séquentiel" et d'un filtre passe-bas.
-
-Le modulateur peut être mis en œuvre comme un circuit numérique pour un signal numérique ou comme un circuit analogique
-pour un signal analogique. De même, le filtre passe-bas peut être analogique pour générer un signal de sortie
-analogique ou numérique, réalisé soit par un circuit numérique soit par un algorithme dans un processeur de signal.
-Cette structure permet d'explorer le flux binaire et le filtre passe-bas avant d'approfondir l'étude du
-modulateur delta-sigma.
-
-## Le flux binaire
-Le flux binaire peut être interprété comme un signal numérique ou analogique.
-Il s'agit d'un signal séquentiel à un bit avec une fréquence d'horloge significativement plus élevée que le débit des
-données numériques de l'ADC ou du DAC. Sa caractéristique essentielle est que sa moyenne correspond à la moyenne du
-signal d'entrée. Un niveau logique "haut" représente la valeur maximale de sortie, tandis qu'un niveau logique "bas"
-représente la valeur minimale de sortie.
-
-- **Sortie analogique :** Le flux binaire est converti par un DA à un bit en un signal analogique. 
-Les valeurs d'entrée "bas" et "haut" se traduisent respectivement par deux tensions analogiques précises, par exemple,
-1V et +1V.
-
-- **Sortie numérique :** Dans le cas d'une sortie numérique, un niveau "haut" (ou "bas") dans le flux binaire représente
-la valeur maximale (ou minimale) de la plage de valeurs numériques. Par exemple, dans un système à 8 bits, un niveau
-"haut" pourrait correspondre à FF en hexadécimal, tandis qu'un niveau "bas" pourrait correspondre à 00 en hexadécimal.
-
-Un flux binaire similaire existe dans un signal modulé en largeur d‘impulsions (PWM), mais il présente quelques
-désavantages par rapport au flux binaire d'un convertisseur delta-sigma, également appelé signal modulé en rapport
-d’impulsions (PPM). La transmission en série d'une valeur numérique, telle que la sortie en série d'un ADC conventionnel
-par pesée, est quant à elle appelée modulation par codage d'impulsions (PCM).
-
-# 
-
-Un convertisseur sigma-delta est un type de convertisseur
-analogique-numérique (CAN) qui utilise une boucle de contre-réaction pour
-échantillonner et quantifier un signal analogique en un signal numérique.
-Le principe de fonctionnement d'un convertisseur sigma-delta peut être
-expliqué en plusieurs étapes :
-
-1. Échantillonnage : Tout d'abord, le signal analogique est échantillonné
-à une fréquence d'échantillonnage beaucoup plus élevée que la bande
-   passante du signal. Cette haute fréquence d'échantillonnage permet de
-   réduire considérablement les effets des distorsions et du bruit dans le
-   domaine fréquentiel.
-2. Quantification : Le signal échantillonné est ensuite quantifié en un
-   signal numérique à l'aide d'un comparateur qui compare le signal avec une
-   référence de tension fixe. La sortie du comparateur est une suite de bits
-   représentant la valeur du signal analogique à chaque instant.
-3. Contre-réaction : Le signal quantifié est ensuite utilisé pour régler
-   un oscillateur numérique qui produit un signal d'erreur. Ce signal
-   d'erreur est ajouté au signal d'entrée dans la boucle de contre-réaction,
-   ce qui permet de compenser les erreurs de quantification et de réduire le
-   bruit dans le signal quantifié.
-4. Suréchantillonnage : Le signal numérique produit par le convertisseur
-   sigma-delta est suréchantillonné à une fréquence beaucoup plus élevée que
-   la fréquence d'échantillonnage initiale, ce qui permet de réduire encore
-   davantage les effets du bruit dans le signal.
-5. Décimation : Enfin, le signal suréchantillonné est décimé à la
-   fréquence d'échantillonnage désirée en utilisant un filtre passe-bas
-   numérique qui élimine les composantes de hautes fréquences indésirables.
-   
-Le résultat final est un signal numérique représentant fidèlement le
-signal analogique d'origine, avec une faible distorsion et un faible
-bruit. La boucle de contre-réaction permet au convertisseur sigma-delta
-d'atteindre des performances supérieures à celles des autres types de
-convertisseurs analogiques-numérique en termes de résolution et de
-précision.
-
-
-
-![img.png](medias/snr_by_osr.png)

infotro/Eln/SignauxEtEchantillonnage.md

@@ -54,6 +54,7 @@ et en compression de données.
 > La transformée de Fourier rapide (FFT) est un algorithme efficace pour calculer la DFT. Elle est largement utilisée dans
 > de nombreuses applications, notamment en traitement du signal et en compression de données.
 
+----------
 
 # Réponse impulsionnelle
 La réponse impulsionnelle $h[k]$ d'un système discret LIT est sa réponse à l'impulsion unitaire à l'origine $δ[k]$.
@@ -115,6 +116,9 @@ On peut retrouver la réponse impulsionnelle à partir de ces facteurs.
 La somme décomposée est appelée *équation aux différences*.
 
 Pour obtenir la réponse indicielle depuis la réponse impulsionnelle, on utilise la somme cumulée de la réponse impulsionnelle.
+On peut aussi mathématiquement obtenir la réponse impulsionnelle en multipliant la réponse indicielle par Heaviside ($F(z)\cdot \varepsilon(z)$).
+
+----------
 
 # Transformée en Z
 La transformée en Z, également connue sous le nom de transformée en fréquence Z, est une technique de traitement du
@@ -147,7 +151,7 @@ $x[k]$ : Fonction du [Tableau des transformées en Z](/infotro/Eln/Ztransform) o
 On a aussi la propriété suivante :
 $$\mathcal{Z}\{x[k-n]\}=z^{-n}\cdot X(z)$$
 
-## Marche à suivre
+## Marche à suivre - Transformée en *Z*
 1. Avoir une équation aux différences.
 2. Pour chaque terme de l'équation, appliquer la transformée en Z.
 Avec : 
@@ -188,6 +192,18 @@ Les zéros et les pôles de la fonction de transfert donnent donc :
 $$H(z) = K \frac{(z-o_{1})\cdot (z-o_{2})\cdot \space \dots \space \cdot (z-o_{N})}{(z-p_{1})\cdot (z-p_{2})\cdot \space \dots \space \cdot (z-p_{M}) }\quad o_{n}, p_{n} \space \text{complexes}$$
 
 
+## Marche à suivre - Transformée en *Z* inverse
+1. Avoir une fonction de transfert : $H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}$.
+2. Effectuer le numérateur et le dénominateur.
+3. Mettre les $z$ en puissance négative : $\cdot \frac{z^{-1}}{z^{-1}}$
+4. Effectuer le produit en croix.
+5. Pour chaque terme, appliquer la transformée en Z inverse.
+   - $F(z) \implies f[k]$
+   - $F(z)\cdot z^{-n} \implies f[k-n]$
+6. Isoler $y[k]$. Et on a notre équation aux différences.
+
+----------
+
 # Approximation bilinéaire
 L'approximation bilinéaire est une technique utilisée pour convertir une fonction de transfert continue en une fonction
 de transfert discrète.
@@ -198,7 +214,26 @@ $$\ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right) = 2\left(x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{
 donne l'approximation
 $\ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right) \approx 2x$
 
-#TODO add formule from lab6-filters for bilinear approximation
+## Approximation bilinéaire - Pôles et zéros
+$$p_{di} = e^{p_{ai} \cdot T} \qquad z_{di} = e^{z_{ai} \cdot T} $$
+- $k_a$, $p_{ai}$ and $z_{ai}$ sont le gain, les pôles et les zéros de notre filtre analogique
+  Attention, $k_a$ n'est pas le gain DC
+- $k_d$, $p_{di}$ and $z_{di}$ sont le gain, des pôles et les zéros de notre filtre numérique.
+Pour un filtre passe bas sans zéros, le gain numérique est:
+$$k_{d} = k_{a}\cdot \prod_{i} \frac{1-e^{P_{ai}\cdot T}}{P_{ai}}$$
+
+On peut appliquer la transformation bilinéaire aux pôles et zéros du filtre analogique pour obtenir les pôles et zéros du filtre numérique.
+$$
+p_{di} = \frac{1+p_{ai}\cdot \frac{T}{2}}{1-p_{ai}\cdot \frac{T}{2}}
+\qquad \qquad
+z_{di} = \frac{1+z_{ai}\cdot \frac{T}{2}}{1-z_{ai}\cdot \frac{T}{2}}
+$$
+Pour un filtre passe bas, le gain "bilinear" est :
+$$k_{d} = k_{a}\cdot \frac{1}{\prod_{i}\left( \frac{2}{T}-p_{ai} \right)}$$
+
+Pour passer de $\omega_o'$ à $\omega_o$, on utilise la relation suivante :
+$$\omega_{0} = 2f_{s}\tan\left( \frac{\omega_{0}'}{2f_{s}} \right)$$
+
 
 ## Autres méthodes d'approximation d'un système continu LIT par un syst. discret
 On détermine la réponse impulsionnelle du système discret LIT à partir de celle du système continu en appliquant la relation :
@@ -212,3 +247,6 @@ $$x'[k]= \frac{x[k]-x[k-1]}{T_{s}}$$
 
 
 
+
+
+----------

infotro/Eln/filtres.md

@@ -1,10 +1,40 @@
 <header><h1>
-Filtres numériques
+Filtres
 </h1></header>
 
 -----------
 
-# Filtres numériques récursifs (IIR)
+
+# Diagramme de Bode
+
+## H0 - Gain statique
+$$H_{0}(s)=A$$
+![filters-h0.png](medias%2Ffilters-h0.png)
+
+## H1 - Coupe bas, amplis haut
+$$H_{1}(s)=\frac{s}{\omega_{0}}$$
+![filters-h1.png](medias%2Ffilters-h1.png)
+
+## H2 - Ampli haut, coupe bas
+$$H_{2}(s)=\frac{\omega_{0}}{s}$$
+![filters-h2.png](medias%2Ffilters-h2.png)
+
+## H3 - Ampli haut
+$$H_{3}(s)=\frac{\omega_{0}+1}{\omega_{0}} = 1+ \frac{s}{\omega_{0}}$$
+![filters-h3.png](medias%2Ffilters-h3.png)
+
+## H4 - Coupe haut
+$$H_{4}(s)=\frac{\omega_{0}}{\omega_{0}+s} = \frac{1}{1+\frac{s}{\omega_{0}}}$$
+![filters-h4.png](medias%2Ffilters-h4.png)
+
+## Résonance
+![filters-h5-h6.png](medias%2Ffilters-h5-h6.png)
+
+----------
+
+# Filtres numériques
+
+## Filtres numériques récursifs (IIR)
 
 Les filtres numériques récursifs (IIR) sont des filtres numériques qui utilisent des rétroactions.
 Ils sont basés sur des équations aux différences.
@@ -20,7 +50,7 @@ Les inconvénients des filtres récursifs :
 - Ils peuvent avoir une instabilité numérique
 
 ***Fonction de transfert en $z$ :***
-$$F(z) = \frac{Y(z)}{U(z)} = \frac{b_{0}+b_{1}z^{-1}+\dots+b_{n}z^{-1}}{1+a_{1}z^{-1}+\dots+a_{n}z^{-n}}$$
+$$F(z) = \frac{Y(z)}{U(z)} = \frac{b_{0}+b_{1}z^{-1}+\dots+b_{n}z^{-n}}{1+a_{1}z^{-1}+\dots+a_{n}z^{-n}}$$
 Numérisation par conversion DA et AD d'un filtre analogique :
 $$F(z) = (1-z^{-1})Z \left\{ L^{-1}\left[ \frac{F(s)}{s} \right] \right\} $$
 La fonction de transfert en *z* permet ensuite de tirer l'équation aux différences qui servira à réaliser le filtre sous forme d'un algorithme récursif
@@ -44,7 +74,7 @@ s&=\frac{1}{T_{s}\ln(z)}
 ![Filtre numérique passe bas ordre 2 - Réponse impulsionnel](medias/filtre_numerique_passe_bas_2-reponse.png ':size=40%')
 ![Filtre numérique passe bas ordre 2 - Bode](medias/filtre_numerique_passe_bas_2-bode.png ':size=40%')
 
-## Transformation analogique-numérique
+### Transformation analogique-numérique
 La transformation bilinéaire : transformation de Tustin ou approximation de Padé de premier ordre
 $$s = \frac{2}{T_{s}} \frac{z-1}{z+1} \qquad \qquad z = \frac{1+\frac{1}{2}sT_{s}}{1-\frac{1}{2}sT_{s}}$$
 
@@ -75,7 +105,7 @@ b_{1} = \frac{2\left( d_{0}-\frac{4d_{2}}{T_{s^{2}}} \right)}{C}
 b_{2} = \frac{d_{0}-\frac{2d_{1}}{T_{s}}+\frac{4d_{2}}{T_{s^{2}}}}{C}
 \end{gather}$$
 
-# Filtre numérique non-récursif (FIR)
+## Filtre numérique non-récursif (FIR)
 
 Les filtres numériques non-récursifs (FIR) sont des filtres numériques qui n'utilisent pas de rétroactions.
 Ils sont basés sur des équations aux différences.
@@ -112,7 +142,7 @@ Il y a donc 4 types de filtres FIR à phase linéaire : n resp. symétrie paire/
 
 
 ***Fonction de transfert en $z$ :***
-$$F(z) = \frac{Y(z)}{U(z)} = b_{0}+b_{1}z^{-1}+\dots+b_{n}z^{-1}$$
+$$F(z) = \frac{Y(z)}{U(z)} = b_{0}+b_{1}z^{-1}+\dots+b_{n}z^{-n}$$
 
 ***Équation aux différences :***
 $$y[k]= b_{n}u[k-n]+ \dots + b_{1}u[k-1]+b_{0}u[k]$$
@@ -120,7 +150,7 @@ $$y[k]= b_{n}u[k-n]+ \dots + b_{1}u[k-1]+b_{0}u[k]$$
 ***Réponse en fréquence :***
 $$z=\exp(\mathbf{j}\omega\cdot T_{s})$$
 
-## Filtres FIR à symétrie paire :
+### Filtres FIR à symétrie paire :
 $$b_{n-k} = b_{k}$$
 
 Exemple : FIR à symétrie paire d'ordre 6
@@ -133,7 +163,7 @@ Les filtres FIR à symétrie paire sont toujours de type passe-bas ou coupe-band
 Ils possèdent autant de pôles que l'order du filtre. Ces derniers sont à (0,0) sur le cercle unité. <br>
 Ils possèdent autant de zéros que l'ordre du filtre. Ces derniers sont sur le cercle unité. <br>
 
-## Filtres FIR à symétrie impaire :
+### Filtres FIR à symétrie impaire :
 $$b_{n-k} = -b_{k}$$
 Exemple : FIR à symétrie impaire d'ordre 6
 $$\begin{align}
@@ -143,12 +173,12 @@ F(z) &= \frac{Y(z)}{U(z)} \\
 \end{align}$$
 Les filtres FIR  à symétrie paire sont toujours de type passe-haut ou passe-bande. <br>
 Ils possèdent autant de pôles que l'ordre du filtre. Ces derniers sont à (0,0) sur le cercle unité. <br>
-Ils possèdent autant de zéros que l'ordre du filtre. <br> 
+Ils possèdent autant de zéros que l'ordre du filtre. <br>
 
-# Filtres numériques FIR idéaux
+## Filtres numériques FIR idéaux
 $$\omega_{c_{d}} = 2\pi \frac{f_{c_{a}}}{f_{s}}$$
 
-## Filtre passe-bas idéal
+### Filtre passe-bas idéal
 $$H(\mathbf{j}\omega)=\begin{cases}
 1 &\text{ si } |\omega| \leq \omega_{c} \\
 0 &\text{ si } |\omega| > \omega_{c}
@@ -166,7 +196,7 @@ $$h[n] = \begin{cases}
 On tronque à $N=ordre$ du filtre. $N_{s}=\frac{N}{2}$ <br>
 Ces coefficients ne sont rien d’autre que les coefficients de la fonction de transfert en *z* du filtre passe-bas idéal.
 
-## Filtre passe-haut idéal
+### Filtre passe-haut idéal
 $$H(\mathbf{j}\omega)=\begin{cases}
 0 &\text{ si } |\omega| \leq \omega_{c} \\
 1 &\text{ si } |\omega| > \omega_{c}
@@ -184,7 +214,7 @@ $$h[n] = \begin{cases}
 On tronque à $N=ordre$ du filtre. $N_{s}=\frac{N}{2}$ <br>
 Ces coefficients ne sont rien d’autre que les coefficients de la fonction de transfert en *z* du filtre passe-haut idéal.
 
-## Filtre passe-bande idéal
+### Filtre passe-bande idéal
 $$H(\mathbf{j}\omega)=\begin{cases}  
 1 &\text{ si } \omega_{c_{1}} \leq \omega \leq \omega_{c_{2}} \\  
 0 &\text{ si } \omega \leq \omega_{c_{1}} \quad et \quad \omega\geq \omega_{c_{2}}
@@ -202,7 +232,7 @@ $$h[n] = \begin{cases}
 On tronque à $N=ordre$ du filtre. $N_{s}=\frac{N}{2}$ <br>
 Ces coefficients ne sont rien d’autre que les coefficients de la fonction de transfert en *z* du filtre passe-bande idéal.
 
-## Filtre coupe-bande idéal
+### Filtre coupe-bande idéal
 $$H(\mathbf{j}\omega)=\begin{cases}    
 0 &\text{ si } \omega_{c_{1}} \leq \omega \leq \omega_{c_{2}} \\    
 1 &\text{ si } \omega \leq \omega_{c_{1}} \quad et \quad \omega\geq \omega_{c_{2}}  
@@ -222,11 +252,11 @@ $$h[n] = \begin{cases}
 On tronque à $N=ordre$ du filtre. $N_{s}=\frac{N}{2}$ <br>
 Ces coefficients ne sont rien d’autre que les coefficients de la fonction de transfert en *z* du filtre coupe-bande idéal.
 
-# Synthèse par fenêtrage
+## Synthèse par fenêtrage
 Le point de départ de la synthèse des filtres FIR est donné par la considération des réponses impulsionnelles des filtres idéaux.
 Comme celles-ci sont infiniment longues et donc non réalisables, on va se contenter d’une approximation de leurs réponses.
 
-## Méthode de fenêtrage
+### Méthode de fenêtrage
 - **Fenêtre rectangulaire :** $$W[n] = \begin{cases}
   1 &\text{ si } 0\leq  n \leq N \\
   0 &\text{ sinon}
@@ -269,7 +299,7 @@ Comme celles-ci sont infiniment longues et donc non réalisables, on va se conte
 
 
 
-## Comment calculer son filtre
+### Comment calculer son filtre
 
 ![specification_de_filtre.svg](medias%2Fspecification_de_filtre.svg ':size=50%')
 
@@ -303,3 +333,5 @@ $\omega_{a}$ : Fréquence de pulsation d'arrêt <br>
 
 
 
+
+----------

infotro/README.md

@@ -14,10 +14,8 @@
 
 ## [Eln - Électronique](/infotro/Eln/)
 - [AD/DA](/infotro/Eln/ADDA)
-- [Sigma / Delta](/infotro/Eln/Sigma-Delta)
-- [Transformée en Z](/infotro/Eln/Ztransform)
 - [Signaux et échantillonnage](/infotro/Eln/SignauxEtEchantillonnage)
-- [Filtres numériques](/infotro/Eln/filtres_numeriques)
+- [Filtres](/infotro/Eln/Filtres)
 
 ## [SEm - Système Embarqué](/infotro/SEm/)
 - [PLA - Programmation en langage assembleur](/infotro/SEm/PLA.md)

infotro/_navbar.md

@@ -9,10 +9,8 @@
   * [Bluetooth](/infotro/SDi/bluetooth.md)
 * [Eln - Électronique](/infotro/Eln/)
   * [AD/DA](/infotro/Eln/ADDA)
-  * [Sigma / Delta](/infotro/Eln/Sigma-Delta)
-  * [Transformée en Z](/infotro/Eln/Ztransform)
   * [Signaux et échantillonnage](/infotro/Eln/SignauxEtEchantillonnage)
-  * [Filtres numériques](/infotro/Eln/filtres_numeriques)
+  * [Filtres](/infotro/Eln/Filtres)
 * [SEm - Systèmes Embarqués](/infotro/SEm/)
   * [PLA - Programmation en langage assembleur](/infotro/SEm/PLA.md)
   * [ASM - Assembleur ARM](/infotro/SEm/ASM.md)