Yggdrasil/infotro/Eln/RF.md

Radio Fréquence

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Skin effect

Le courant électrique circule principalement à la surface des conducteurs.

Pour un fil de cuivre rond, la résistance en continue est donnée par la formule suivante:

R_{DC} = \rho\frac{l}{\pi r²}

avec:

• R_{DC}: résistance en continue
• \rho: résistivité du cuivre
• l: longueur du fil
• r: rayon du fil

La résistance en courant alternatif est donnée par la formule suivante:

R_{AC} = R_{DC} \frac{r}{2\delta}

avec:

• R_{AC}: résistance en courant alternatif
• R_{DC}: résistance en continue
• r: rayon du fil
• \delta: profondeur de pénétration du courant

La profondeur de pénétration du courant est donnée par la formule suivante:

\delta = \sqrt{\frac{\rho}{\pi f \mu_0}}

avec:

• \delta: profondeur de pénétration du courant
• \rho: résistivité du cuivre
• f: fréquence
• \mu_0: perméabilité magnétique du vide = 4\pi 10^{-7} H/m

On peut en déduire la résistance en courant alternatif:

R_{AC} = \frac{l\sqrt{\rho\pi\mu_0}}{2\pi r} \sqrt{f} \qquad \qquad R_{AC(f_{2})} = R_{AC(f_{1})} \cdot \sqrt{ \frac{f_{2}}{f_{1}} }

Pour calculer l'inductance et la capacité d'un fil, on peut utiliser les formules suivantes: $$\begin{align} L&=\frac{\mu_{0}l}{\pi}acosh\left( \frac{d}{2r} \right) \ C&=\frac{\pi\epsilon_{0}l}{acosh\left( \frac{d}{2r} \right)} \end{align}$$ avec:

• \mu_{0}: perméabilité magnétique du vide =4\pi\cdot 10^{-7}\left[ \frac{H}{m} \right]
• \epsilon_{0}: permittivité du vide =8.854\cdot 10^{-12}\left[ \frac{F}{m} \right]

Model à haute fréquence

Inductance

Facteur de qualité :

Q(f) = \frac{X_{L}(f)}{R(f)} \qquad \qquad R_{AC}(f)= \frac{l\sqrt{ \rho \pi \mu_{0} }}{2\pi r}\sqrt{ f}

Réactance & Impédance:

X_{L}=\omega L=2\pi fL \qquad \qquad Z_{L}=jX_{L}=j\omega L

Résonance : \omega_{r} ≃\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{ LC }}
SRF: Self Resonant Frequency = \frac{\omega_{r}}{2\pi}

Z_{L,tot} = (j\omega L+R) \mid \mid \frac{1}{j\omega C} =\frac{sL+R}{1+sRC+s^{2}LC}

Capacité

Facteur de qualité :

Q(f) = \frac{X_{C}(f)}{R} \qquad \qquad \omega_{r} ≃\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{ LC }}

Réactance & Impédance:

X_{C}=\frac{1}{\omega C} \qquad \qquad Z_{C}=\frac{1}{j\omega C}

Résistance

Transmission line

k = \frac{2\pi}{\lambda} \qquad \qquad \lambda = \frac{c_{mat}}{f}

\Gamma (Gamma) : coefficient de réflexion

Smith Chart

Ajouter une ligne de réflexion

1. Placer Z1
   1. Normaliser (\hat{Z_{1}}=\frac{Z_{1}}{Z_{0}})
   2. Placer le point au croisement de l'axe réel et imaginaire (Impédance = bleu)
2. Chercher \Gamma (indice de reflexion)
   1. Tracer l'angle ("Angle of reflexion coefficient in degrees")
   2. Tracer le module (cercle au compas + rapport sur les échelles du bas)
3. Ajouter la ligne selon le sens
   • \circlearrowright : toward generator
   • \circlearrowleft : toward load
4. Lire les nouvelles valeures
   1. Tracer le nouvel angle \to \angle(\Gamma_{2})
   2. Tracer et lire \hat{Z_{2}} puis Z_{2}