diff --git a/infotro/Eln/filtres_numeriques.md b/infotro/Eln/filtres_numeriques.md
index e8cfe1e..f09f763 100644
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+++ b/infotro/Eln/filtres_numeriques.md
@@ -19,7 +19,7 @@ Les inconvénients des filtres récursifs :
- Ils possèdent une phase non-linéaire
- Ils peuvent avoir une instabilité numérique
-Fonction de transfert en $z$ :
+***Fonction de transfert en $z$ :***
$$F(z) = \frac{Y(z)}{U(z)} = \frac{b_{0}+b_{1}z^{-1}+\dots+b_{n}z^{-1}}{1+a_{1}z^{-1}+\dots+a_{n}z^{-n}}$$
Numérisation par conversion DA et AD d'un filtre analogique :
$$F(z) = (1-z^{-1})Z \left\{ L^{-1}\left[ \frac{F(s)}{s} \right] \right\} $$
@@ -75,8 +75,231 @@ b_{1} = \frac{2\left( d_{0}-\frac{4d_{2}}{T_{s^{2}}} \right)}{C}
b_{2} = \frac{d_{0}-\frac{2d_{1}}{T_{s}}+\frac{4d_{2}}{T_{s^{2}}}}{C}
\end{gather}$$
+# Filtre numérique non-récursif (FIR)
+
+Les filtres numériques non-récursifs (FIR) sont des filtres numériques qui n'utilisent pas de rétroactions.
+Ils sont basés sur des équations aux différences.
+Les filtres non-récursifs sont utilisés pour des applications où la phase du filtre est critique.
+Ils sont utilisés dans le traitement du signal et la conception de filtres.
+
+Les intérêts des filtres non-récursifs :
+- Les fonctions de transfert ne possèdent que des coefficients $b_i$. ($\forall a_{i} = 0$)
+- Ils possèdent une phase linéaire exacte
+- Ils sont stables
+
+Les inconvénients des filtres non-récursifs :
+- Ils sont plus coûteux en calcul
+- Ils nécessitent plus de matériel
+
+Coefficients symétrique: pairs $b_{n-i} = b_{i}$, impairs $b_{n-i} = -b_{i}$, $b_{n/2}=0$
+
+**Symétrie paire:**
+$$H(\mathbf{j}\omega)
+= \sum^{n}_{i=o}b_{i}e^{-\frac{\mathbf{j}i\omega}{f_{s}}}
+= e^{\frac{-\mathbf{j}n\omega}{2f_{s}}} \sum^{n/2}_{i=0}b_{i}\cos\left[ \frac{\left( i-\frac{n}{2} \right)\omega}{f_{s}} \right]$$
+
+**Symétrie impaire:**
+$$H(\mathbf{j}\omega)=\mathbf{j}e^{\frac{-\mathbf{j}n\omega}{2f_{s}}}\sum^{n/2}_{i=0}b_{i}\sin\left( \frac{(i-\frac{n}{2})\omega}{f_{s}} \right)$$
+
+Les filtres FIR à coefficients symétriques ont une phase linéaire.
+$$
+\text{Symétrie paire : }\varphi(\omega)=-\frac{n\omega}{2f_{s}}
+\qquad \qquad
+\text{Symétrie impaire : } \varphi(\omega)= -\frac{n\omega}{2f_{s}}+\frac{\pi}{2}
+$$
+$$\text{Temps de propagation : }t_{gr}=-\frac{d\varphi}{d\omega}=\frac{n}{2f_{s}}=\frac{n}{2}T_{s}$$
+Il y a donc 4 types de filtres FIR à phase linéaire : n resp. symétrie paire/impaire
+
+
+***Fonction de transfert en $z$ :***
+$$F(z) = \frac{Y(z)}{U(z)} = b_{0}+b_{1}z^{-1}+\dots+b_{n}z^{-1}$$
+
+***Équation aux différences :***
+$$y[k]= b_{n}u[k-n]+ \dots + b_{1}u[k-1]+b_{0}u[k]$$
+
+***Réponse en fréquence :***
+$$z=\exp(\mathbf{j}\omega\cdot T_{s})$$
+
+## Filtres FIR à symétrie paire :
+$$b_{n-k} = b_{k}$$
+
+Exemple : FIR à symétrie paire d'ordre 6
+$$\begin{align}
+F(z) &= \frac{Y(z)}{U(z)} \\
+&= 1+2z^{-1}+3z^{-2}+4z^{-3}+3z^{-4}+2z^{-5}+z^{-6} \\
+&= \frac{z^{6}+2z^{5}+3z^{4}+4z^{3}+3z^{2}+2z^{1}+1}{z^{6}}
+\end{align}$$
+Les filtres FIR à symétrie paire sont toujours de type passe-bas ou coupe-bande.
+Ils possèdent autant de pôles que l'order du filtre. Ces derniers sont à (0,0) sur le cercle unité.
+Ils possèdent autant de zéros que l'ordre du filtre. Ces derniers sont sur le cercle unité.
+
+## Filtres FIR à symétrie impaire :
+$$b_{n-k} = -b_{k}$$
+Exemple : FIR à symétrie impaire d'ordre 6
+$$\begin{align}
+F(z) &= \frac{Y(z)}{U(z)} \\
+&= -1-2z^{-1}-3z^{-2}+0z^{-3}+3z^{-4}+2z^{-5}+z^{-6} \\
+&= \frac{z^{6}+2z^{5}+3z^{4}+0z^{3}-3z^{2}-2z^{1}-1}{z^{8}}
+\end{align}$$
+Les filtres FIR à symétrie paire sont toujours de type passe-haut ou passe-bande.
+Ils possèdent autant de pôles que l'ordre du filtre. Ces derniers sont à (0,0) sur le cercle unité.
+Ils possèdent autant de zéros que l'ordre du filtre.
+
+# Filtres numériques FIR idéaux
+$$\omega_{c_{d}} = 2\pi \frac{f_{c_{a}}}{f_{s}}$$
+
+## Filtre passe-bas idéal
+$$H(\mathbf{j}\omega)=\begin{cases}
+1 &\text{ si } |\omega| \leq \omega_{c} \\
+0 &\text{ si } |\omega| > \omega_{c}
+\end{cases} $$
+La transformée de Fourier inverse donne la réponse impulsionnelle d’un filtre passe-bas idéal.
+
+$$h[n] = \begin{cases}
+\frac{\omega_{c}}{\pi} \frac{\sin((n-N_{s})\omega_{c})}{(n-N_{s})\omega_{c}} &\text{ si } 0\leq n \leq N \\
+\\
+\frac{\omega_{c}}{\pi} &\text{ si } n=N_{s} \\
+\\
+0 &\text{ sinon}
+\end{cases}$$
+
+On tronque à $N=ordre$ du filtre. $N_{s}=\frac{N}{2}$
+Ces coefficients ne sont rien d’autre que les coefficients de la fonction de transfert en *z* du filtre passe-bas idéal.
+
+## Filtre passe-haut idéal
+$$H(\mathbf{j}\omega)=\begin{cases}
+0 &\text{ si } |\omega| \leq \omega_{c} \\
+1 &\text{ si } |\omega| > \omega_{c}
+\end{cases}$$
+La transformée de Fourier inverse donne la réponse impulsionnelle d’un filtre passe-bas idéal.
+
+$$h[n] = \begin{cases}
+-\frac{\omega_{c}}{\pi} \frac{\sin((n-N_{s})\omega_{c})}{(n-N_{s})\omega_{c}} &\text{ si } 0\leq n \leq N \\
+\\
+1-\frac{\omega_{c}}{\pi} &\text{ si } n=N_{s} \\
+\\
+0 &\text{ sinon}
+\end{cases}$$
+
+On tronque à $N=ordre$ du filtre. $N_{s}=\frac{N}{2}$
+Ces coefficients ne sont rien d’autre que les coefficients de la fonction de transfert en *z* du filtre passe-haut idéal.
+
+## Filtre passe-bande idéal
+$$H(\mathbf{j}\omega)=\begin{cases}
+1 &\text{ si } \omega_{c_{1}} \leq \omega \leq \omega_{c_{2}} \\
+0 &\text{ si } \omega \leq \omega_{c_{1}} \quad et \quad \omega\geq \omega_{c_{2}}
+\end{cases}$$
+La transformée de Fourrier inverse donne la réponse impulsionnelle d’un filtre passe-bande idéal.
+
+$$h[n] = \begin{cases}
+\frac{\omega_{c_{2}}}{\pi} \frac{\sin((n-N_{s})\omega_{c_{2}})}{(n-N_{s})\omega_{c_{2}}}-\frac{\omega_{c_{1}}}{\pi} \frac{\sin((n-N_{s})\omega_{c_{1}})}{(n-N_{s})\omega_{c_{1}}} &\text{ si } 0\leq n \leq N \\
+\\
+\frac{\omega_{c_{2}}-\omega_{c_{1}}}{\pi} &\text{ si } n=N_{s}\\
+\\
+0 &\text{ sinon}
+\end{cases}$$
+
+On tronque à $N=ordre$ du filtre. $N_{s}=\frac{N}{2}$
+Ces coefficients ne sont rien d’autre que les coefficients de la fonction de transfert en *z* du filtre passe-bande idéal.
+
+## Filtre coupe-bande idéal
+$$H(\mathbf{j}\omega)=\begin{cases}
+0 &\text{ si } \omega_{c_{1}} \leq \omega \leq \omega_{c_{2}} \\
+1 &\text{ si } \omega \leq \omega_{c_{1}} \quad et \quad \omega\geq \omega_{c_{2}}
+\end{cases}$$
+La transformée de Fourrier inverse donne la réponse impulsionnelle d’un filtre coupe-bande idéal.
+
+$$h[n] = \begin{cases}
+\frac{\omega_{c_{1}}}{\pi} \frac{\sin((n-N_{s})\omega_{c_{1}})}{(n-N_{s})\omega_{c_{1}}}
+-\frac{\omega_{c_{2}}}{\pi} \frac{\sin((n-N_{s})\omega_{c_{2}})}{(n-N_{s})\omega_{c_{2}}}
+&\text{ si } 0\leq n \leq N \\
+\\
+1-\frac{\omega_{c_{2}}-\omega_{c_{1}}}{\pi} &\text{ si } n=N_{s}\\
+\\
+0 &\text{ sinon}
+\end{cases}$$
+
+On tronque à $N=ordre$ du filtre. $N_{s}=\frac{N}{2}$
+Ces coefficients ne sont rien d’autre que les coefficients de la fonction de transfert en *z* du filtre coupe-bande idéal.
+
+# Synthèse par fenêtrage
+Le point de départ de la synthèse des filtres FIR est donné par la considération des réponses impulsionnelles des filtres idéaux.
+Comme celles-ci sont infiniment longues et donc non réalisables, on va se contenter d’une approximation de leurs réponses.
+
+## Méthode de fenêtrage
+- **Fenêtre rectangulaire :** $$W[n] = \begin{cases}
+ 1 &\text{ si } 0\leq n \leq N \\
+ 0 &\text{ sinon}
+ \end{cases}$$
+- **Fenêtre triangulaire (Bartlett) :** $$W[n] = \begin{cases}
+ 2 \frac{n}{N} &\text{ si } 0\leq n \leq \frac{N}{2} \\
+ 2-2 \frac{n}{N} &\text{ si } \frac{N}{2}\leq n \leq N \\
+ 0 &\text{ sinon}
+ \end{cases}$$
+- **Fenêtre sinusoïdale (Hann) :** $$W[n] = \begin{cases}
+ 0,5\left( 1-\cos\left( \frac{2\pi n}{N} \right) \right) &\text{ si } 0\leq n\leq N \\
+ 0 &\text{ sinon}
+ \end{cases}$$
+- **Fenêtre de Hamming :** $$W[n] = \begin{cases}
+ 0,54-0,46\cos\left( \frac{2\pi n}{N} \right) &\text{ si } 0\leq n\leq N \\
+ 0 &\text{ sinon}
+ \end{cases}$$
+- **Fenêtre de Blackman :** $$W[n] = \begin{cases}
+ 0,42-0,5\cos\left( \frac{2\pi n}{N} \right)+0,08\cos\left( \frac{4\pi n}{N} \right) &\text{ si } 0\leq n\leq N \\
+ 0 &\text{ sinon}
+ \end{cases}$$
+- **Fenêtre de Kaiser-Bessel :** $$W[n] = \begin{cases}
+ \frac{I_{0}\left( \beta\sqrt{1-\left( \frac{1-n}{N_{s}} \right)^{2}} \right)}{I_{0}(\beta)} &\text{ si } 0\leq n\leq N \\
+ 0 &\text{ sinon}
+ \end{cases}$$
+ $I_{0}$ : Fonction de Bessel modifiée d’ordre 0
+ $\beta$ : Paramètre de forme
+
+***Caractéristiques spectrales de quelques fenêtres***
+
+| Fenêtres | Largeur du 1er lobe | Atténuation du 1er lobe [dB] | Décroissance des lobes suivants | Ondulation Rp [dB] | Atténuation max [dB] | Bande de transition [rad/sec] $\Delta\omega$ |
+|---------------------|---------------------|------------------------------|---------------------------------|--------------------|----------------------|----------------------------------------------------|
+| Rectangulaire | $4\pi/N$ | $-13$ | $20 dB/dec$ | $0,74$ | $21$ | $1,8\pi/N$ |
+| Triangulaire | $8\pi/N$ | $-27$ | $40 dB/dec$ | $0$ | $25$ | $6,1\pi/N$ |
+| Cosinus | $8\pi/N$ | $-32$ | $60 dB/dec$ | $0,055$ | $44$ | $6,2\pi/N$ |
+| Hamming | $8\pi/N$ | $-43$ | $20 dB/dec$ | $0,014$ | $53$ | $6,6\pi/N$ |
+| Blackman | $12\pi/N$ | $-58$ | $60 dB/dec$ | $0,0017$ | $74$ | $11\pi/N$ |
+| Kaiser $\beta=4,54$ | $7,2\pi/N$ | $-30$ | $20 dB/dec$ | $0,025$ | $50$ | $5,8\pi/N$ |
+| Kaiser $\beta=5,66$ | $8,4\pi/N$ | $-42$ | $20 dB/dec$ | $0,009$ | $60$ | $7,2\pi/N$ |
+## Comment calculer son filtre
+
+
+
+$H(\mathbf{j}\omega)$ : Gain
+$\delta_{1}$ : L'erreur de gain tolérable
+$\delta_{2}$ : L'erreur d'atténuation tolérable
+$\omega_{p}$ : Fréquence de pulsation de passage
+$\omega_{a}$ : Fréquence de pulsation d'arrêt
+
+1. En fonction du gabarit, déterminer le type de filtre désiré (`passe-bas`, `passe-haut`, `passe-bande`, `coupe-bande`)
+2. Calculer $f_{c} \to \omega_{c}$ et $\Delta f \to \Delta\omega$
+ $$\begin{gather}
+ f_{c} = \frac{f_{a}+f_{p}}{2} \qquad & \qquad \Delta f = f_{a}-f_{p} \\
+ \omega_{c} = 2\pi \frac{f_{c}}{f_{s}} \quad & \quad \Delta\omega = \frac{2\pi\Delta f}{f_{s}}
+ \end{gather}$$
+3. Choisir une fenêtre $W[n]$ satisfaisante du point de vue de l’atténuation et du reste du cahier des charges.(voir tableau ci-dessus)
+4. Calculer l'ordre du filtre à l'aide de la bande de transition du filtre choisit. Arrondir au nombre pair supérieur.
+5. Calculer la réponse impulsionnelle $h_{f}[n]$ du filtre avec $h[n]*W[n]$
+6. Calculer les coefficients $b_{n}$ du filtre avec $h_{f}[n]$
+
+
+Démarche selon les slides
+
+1. Connaissant le gabarit du filtre désiré, choisir le filtre idéal correspondant
+2. Calculer les pulsations caractéristiques se situant au centre des bandes de transitions
+3. Rechercher la réponse impulsionnelle $h[n]$ du filtre idéal, si celle-ci n’est pas connue, on peut la calculer par transformation de Fourier inverse
+4. Choisir une fenêtre $W[n]$ satisfaisante du point de vue de l’atténuation
+5. Connaissant la largeur de la bande de transition , calculer l’ordre du filtre $N$
+6. Calculer les coefficients du filtre en multipliant la réponse impulsionnelle par la fenêtre choisie
+
+
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